1. Введение
Исследование процесса формообразования пространственно-модифицированных зубчатых венцов, подразумевает определение взаимосвязи между геометрией режущей части инструмента, кинематикой относительных движений инструмента и заготовки и геометрией боковой поверхности зубьев. Описание геометрии режущей кромки инструмента аналитическими зависимостями необходимо и для анализа изменения параметров срезаемого слоя, исследования силового нагружения режущих кромок инструментов, интенсификации режимов резания, повышения качества обработки зубчатых венцов, управления параметрами поверхностного слоя обрабатываемых поверхностей, совершенствования геометрии режущей части инструмента, совершенствования технологического оборудования и процессов формообразования изделий с зубчатыми венцами
[1][2]
Геометрия режущей кромки пальцевой модульной фрезы в нормативно-технических документах задается координатным способом
[3][4][5][6][8]
2. Основные результаты
Значения координат точек на режущей кромки пальцевой модульной фрезы зависят от модуля, количества зубьев нарезаемого зубчатого колеса и угла наклона их линии зуба
[3][9]
где А3 — расчетный коэффициент, определяемый по зависимости:
— угол наклона винтовой линии на основном цилиндре:
— угол развернутости эвольвенты;
—торцовый угол зацепления:
Рассчитаем по зависимостям (1), (2), (3), (4) координаты точек на режущей кромке пальцевой модульной фрезы, предназначенной для нарезания шестерни с z1 = 20 шт. и m = 12 мм. Добавив координаты граничных точек радиуса скруглений и прямолинейного участка, полученные результаты сведем в таблицу 1.
Значения координат точек на режущей кромке пальцевой модульной фрезы
| № точки | pi | pi | № точки | pi | pi |
| 0 | -2,794 | 0 | 7 | -8,219 | 11,682 |
| 1 | -5,477 | 1,033 | 8 | -9,146 | 14,026 |
| 2 | -6,774 | 3,599 | 9 | -10,489 | 16,821 |
| 3 | -7,171 | 7,542 | 10 | -12,318 | 20,017 |
| 4 | -7,192 | 7,740 | 11 | -14,694 | 23,555 |
| 5 | -7,320 | 8,509 | 12 | -17,674 | 27,372 |
| 6 | -7,636 | 9,832 | – | – | – |
Точки с номерами от 0 до 2 принадлежат участку дуги профиля зуба фрезы, точки с 2 до 3 прямолинейному отрезку, точки с 3 по 12 эвольвентному участку. Как было показано в работах [1], [2], [10] участки профиля зуба фрезы можно аппроксимировать с высокой степенью точности сплайнами Безье. Прямолинейный участок профиля зуба можно описать сплайном Безье первого порядка. Для аппроксимации участка дуги окружности и эвольвентного участка используются сплайны Безье третьего порядка. При этом выбираются 4 точки на каждой кривой. В итоге, исходя из геометрии режущей кромки пальцевой модульной фрезы, для ее описания применяется сплайн Безье 5 порядка.
Сплайн Безье 5-го порядка на плоскости задается системой уравнений [1], [2]:
[LATEX_FORMULA]\left\{\begin{aligned}
X(\lambda)= & X p_{0} \cdot(1-\lambda)^{5}+5 X p_{1} \cdot \lambda \cdot(1-\lambda)^{4}+10 X p_{2} \cdot \lambda^{2} \cdot(1-\lambda)^{3}+ \\
& +10 X p_{3} \cdot \lambda^{3} \cdot(1-\lambda)^{2}+5 X p_{4} \cdot \lambda^{4} \cdot(1-\lambda)+X p_{5} \cdot \lambda^{5} \\
Y(\lambda)= & Y p_{0} \cdot(1-\lambda)^{5}+5 Y p_{1} \cdot \lambda \cdot(1-\lambda)^{4}+10 Y p_{2} \cdot \lambda^{2} \cdot(1-\lambda)^{3}+ \\
& +10 Y p_{3} \cdot \lambda^{3} \cdot(1-\lambda)^{2}+5 Y p_{4} \cdot \lambda^{4} \cdot(1-\lambda)+Y p_{5} \cdot \lambda^{5} .
\end{aligned}\right.[/LATEX_FORMULA]
В систему уравнений (5) входит 9 неизвестных: параметр сплайна λ и координаты опорных точек Xp1 – Xp4, Yp1 – Yp4 [1]. Для определения параметры сплайна Безье 5-го порядка необходимо задаться координатами X(λi) и Y(λi) 8-ми точек, принадлежащих режущей кромки пальцевой модульной фрезы (из таблицы 1). В результате получим систему из 16-ти уравнений:
[LATEX_FORMULA]\left\{\begin{aligned}
X\left(\lambda_{0}\right)= & X_{p 0} \cdot\left(1-\lambda_{0}\right)^{5}+5 X_{p 1} \cdot \lambda_{0} \cdot\left(1-\lambda_{0}\right)^{4}+10 X_{p 2} \cdot \lambda_{0}^{2} \cdot\left(1-\lambda_{0}\right)^{3}+ \\
& +10 X_{p 3} \cdot \lambda_{0}^{3} \cdot\left(1-\lambda_{0}\right)^{2}+5 X_{p 4} \cdot \lambda_{0}^{4} \cdot\left(1-\lambda_{0}\right)+X_{p 5} \cdot \lambda_{0}^{5} \\
Y\left(\lambda_{0}\right)= & Y_{p 0} \cdot\left(1-\lambda_{0}\right)^{5}+5 Y_{p 1} \cdot \lambda_{0} \cdot\left(1-\lambda_{0}\right)^{4}+10 Y_{p 2} \cdot \lambda_{0}^{2} \cdot\left(1-\lambda_{0}\right)^{3}+ \\
& +10 Y_{p 3} \cdot \lambda_{0}^{3} \cdot\left(1-\lambda_{0}\right)^{2}+5 Y_{p 4} \cdot \lambda_{0}^{4} \cdot\left(1-\lambda_{0}\right)+Y_{p 5} \cdot \lambda_{0}^{5} \\
X\left(\lambda_{1}\right)= & X_{p 0} \cdot\left(1-\lambda_{1}\right)^{5}+5 X_{p 1} \cdot \lambda_{1} \cdot\left(1-\lambda_{1}\right)^{4}+10 X_{p 2} \cdot \lambda_{1}^{2} \cdot\left(1-\lambda_{1}\right)^{3}+ \\
& +10 X_{p 3} \cdot \lambda_{1}^{3} \cdot\left(1-\lambda_{1}\right)^{2}+5 X_{p 4} \cdot \lambda_{1}^{4} \cdot\left(1-\lambda_{1}\right)+X_{p 5} \cdot \lambda_{1}^{5} \\
Y\left(\lambda_{1}\right)= & Y_{p 0} \cdot\left(1-\lambda_{1}\right)^{5}+5 Y_{p 1} \cdot \lambda_{1} \cdot\left(1-\lambda_{1}\right)^{4}+10 Y_{p 2} \cdot \lambda_{1}^{2} \cdot\left(1-\lambda_{1}\right)^{3}+ \\
& +10 Y_{p 3} \cdot \lambda_{1}^{3} \cdot\left(1-\lambda_{1}\right)^{2}+5 Y_{p 4} \cdot \lambda_{1}^{4} \cdot\left(1-\lambda_{1}\right)+Y_{p 5} \cdot \lambda_{1}^{5} \\
\ldots & \\
X\left(\lambda_{7}\right)= & X_{p 0} \cdot\left(1-\lambda_{7}\right)^{5}+5 X_{p 1} \cdot \lambda_{7} \cdot\left(1-\lambda_{7}\right)^{4}+10 X_{p 2} \cdot \lambda_{7}^{2} \cdot\left(1-\lambda_{7}\right)^{3}+ \\
& +10 X_{p 3} \cdot \lambda_{7}^{3} \cdot\left(1-\lambda_{7}\right)^{2}+5 X_{p 4} \cdot \lambda_{7}^{4} \cdot\left(1-\lambda_{7}\right)+X_{p 5} \cdot \lambda_{7}^{5} \\
Y\left(\lambda_{7}\right)= & Y_{p 0} \cdot\left(1-\lambda_{7}\right)^{5}+5 Y_{p 1} \cdot \lambda_{7} \cdot\left(1-\lambda_{7}\right)^{4}+10 Y_{p 2} \cdot \lambda_{7}^{2} \cdot\left(1-\lambda_{7}\right)^{3}+ \\
& +10 X_{p 3} \cdot \lambda_{7}^{3} \cdot\left(1-\lambda_{7}\right)^{2}+5 X_{p 4} \cdot \lambda_{7}^{4} \cdot\left(1-\lambda_{7}\right)+X_{p 5} \cdot \lambda_{7}^{5}
\end{aligned}\right.[/LATEX_FORMULA]
Решив систему уравнений (6), используя численные методы [7], например, в математическом пакете MathCAD, определим параметры сплайна Безье 5-го порядка, который аппроксимирует профиль зуба пальцевой модульной фрезы таблица 2.
Результаты расчета параметров сплайна Безье 5-го порядка
| Xp1, мм | Yp1, мм | Xp2, мм | Yp2, мм | Xp3, мм | Yp3, мм | Xp4, мм | Yp4, мм |
| -8,907 | -1,121 | -6,734 | 14,281 | -8,127 | -0,281 | -2,946 | 10,229 |
| 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
| 0 | 0,1217 | 0,2569 | 0,5767 | 0,5904 | 0,7494 | 0,8562 | 1 |
Подставив полученные в результате решения системы уравнений (6) значения координат опорных точек в систему уравнений (5), получим зависимости для определения координат точек, описывающих геометрию профиля зуба пальцевой модульной фрезы:
Выполнив расчеты по зависимостям (7), получим координаты точек сплайна таблица 3, который описывает режущую кромку зуба пальцевой модульной фрезы рисунок 1.
Сплайн описывающий профиль зуба пальцевой модульной фрезы
Из рисунка 1 видно, что полученные в результате решения системы уравнений (6), параметры сплайна, позволяют с высокой точностью аппроксимировать профиль зуба пальцевой модульной фрезы сплайном Безье 5-го порядка. Для оценки точности аппроксимации профиля зуба пальцевой модульной фрезы сплайном, определим значения координаты X(λ) при известном значении координаты (таблица 1) и сравним полученное значение координаты X(λ) с табличным значением , решением уравнения относительно параметра сплайна , соответствующие заданному табличному значению координат :
Результаты расчетов координат точек сплайна Безье 5-го порядка
| № п/п | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 |
| λ | 0 | 0,1 | 0,2 | 0,3 | 0,4 | 0,5 | 0,6 | 0,7 | 0,8 | 0,9 | 1 |
| , мм | -2,794 | -5,130 | -6,384 | -6,958 | -7,133 | -7,136 | -7,211 | -7,690 | -9,065 | -12,054 | -17,674 |
| , мм | 0 | 0,676 | 2,525 | 4,324 | 5,646 | 6,653 | 7,887 | 10,055 | 13,825 | 19,613 | 27,372 |
Уравнение (8) можно решить численными методами в математическом пакете MathCAD с применением программного блока составленного в соответствии с блок-схемой рисунок 2.
Блок-схема программного модуля для решения уравнения (8)
Значения координат точек сплайна, соответствующие заданным значением координат Ypi
| п/п | Λ | мм | % | , мм | % |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 1 | 0 | -2,779 | -0,54 | 0 | 0 |
| 2 | 0,1217 | -5,477 | -3 | 1,033 | 0,03 |
| 3 | 0,2570 | -6,774 | -3 | 3,599 | -3 |
| 4 | 0,5767 | -7,171 | -4 | 7,542 | -3 |
| 5 | 0,5904 | -7,192 | -4 | 7,740 | -3 |
| 6 | 0,6354 | -7,313 | -0,10 | 8,509 | -3 |
| 7 | 0,6921 | -7,627 | -0,11 | 9,832 | -3 |
| 8 | 0,7494 | -8,219 | -3 | 11,683 | -3 |
| 9 | 0,8042 | -9,152 | 0,07 | 14,027 | -3 |
| 10 | 0,8562 | -10,490 | -3 | 16,822 | -3 |
| 11 | 0,9059 | -12,299 | -0,15 | 20,017 | -3 |
| 12 | 0,9536 | -14,662 | -0,22 | 23,556 | -3 |
| 13 | 1 | -17,675 | -3 | 27,373 | -3 |
3. Заключение
Полученные зависимости позволяют выполнить полное описание геометрии режущей кромки пальцевой модульной фрезы, в отличие от известных зависимостей для расчета координат точек эвольвентныого участка режущей кромки. Использование сплайнов Безье 5-го порядка для аппроксимации геометрии профиля зуба пальцевой модульной фрезы позволяет выполнять исследования параметры срезаемого слоя и силового нагружения режущих кромок, выполнять интенсификацию режимов резания, управлять параметрами поверхностного слоя боковой поверхности зубьев, совершенствовать геометрию режущей части пальцевой модульной фрезы и процессы формообразования изделий с зубчатыми венцами. Относительная погрешность в определении координаты X(λ) точек сплайна Безье 5-го порядка не превышает 0,6%.